【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为e,D为右准线上一点.
(1)若e= ,点D的横坐标为4,求椭圆的方程;
(2)设斜率存在的直线l经过点P( ,0),且与椭圆交于A,B两点.若 + = ,DP⊥l,求椭圆离心率e.
【答案】
(1)
解:由椭圆的离心率e= = ,则a=2c,①椭圆的右准线方程x= ,
由 =4,则a2=4c,②,解得:a=2,c=1,
b2=a2﹣c2=3,
∴椭圆的标准方程:
(2)
解:方法一:设直线AB的方程:x=my+ ,A(x1,y1),B(x2,y2),
,整理得:(a2+b2m2)y2+ ab2my﹣ a2b2=0,
y1+y2=﹣ ,则x1+x2=m(y1+y2)+ = ,
由 + = ,则 =(x1+x2,y1+y2)=( ,﹣ ),
则D( ,﹣ ),由D在椭圆的右准线上,则 = ,整理得3ac=2(a2+b2m2),
∴D( ,﹣ ),则直线PD的斜率 =﹣ ,
由DP⊥l,则﹣ =﹣m,整理得4b2=4a2﹣3ac,即3ac=4(a2﹣b2)=4c2,则3a=4c,
∴椭圆的离心率e= = ,
椭圆离心率e的值为 .
方法二:设D( ,y),P( ,0),则直线DP的斜率kPD= = ,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由 + = ,则 ,
则 ,两式相减,整理得: =﹣ × =﹣ × =﹣ ,
∴直线l的斜率kAB=﹣ ,
∴DP⊥l,则kPDkAB=﹣1,
×(﹣ )=﹣1,整理得4b2=4a2﹣3ac,即3ac=4(a2﹣b22,则3a=4c,
∴椭圆的离心率e= = ,
椭圆离心率e的值为
【解析】(1)由椭圆的离心率e= = ,a=2c,准线 =4,即可求得a和c,则b2=a2﹣c2=3,即可求得椭圆方程;(2)方法一:设直线l的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及向量的坐标运算,即可求得D点坐标,由D的横坐标为 ,即可表示出D点坐标,即可求得直线PD的斜率,由kPDkAB=﹣1,即可求得a和c的关系,即可求得椭圆离心率e;
方法二:设D点坐标,求得直线PD的方程,利用点差法及向量的数量积,即可求得直线AB的斜率,由kPDkAB=﹣1,即可求得a和c的关系,即可求得椭圆离心率e.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=|x-1|+|2x-1|.
(Ⅰ)若对 x>0,不等式f(x)≥tx恒成立,求实数t的最大值M;
(Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下,正实数a,b满足a2+b2=2M.证明:a+b≥2ab.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点及圆: .
(1)若直线过点且与圆心的距离为,求直线的方程.
(2)设直线与圆交于, 两点,是否存在实数,使得过点的直线垂直平分弦?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2AD,BC⊥PD,E,F分别是PB,BC的中点.
求证:
(1)PC∥平面DEF;
(2)平面PBC⊥平面PBD.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}的各项均为正数,a1=1,前n项和为Sn , 且an+12﹣nλ2﹣1=2λSn , λ为正常数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn= ,Cn= + (k,n∈N*,k≥2n+2). 求证:
①bn<bn+1;
②Cn>Cn+1 .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设a , b , c是正整数,且a∈[70,80),b∈[80,90),c∈[90,100],当数据a , b , c的方差最小时,a+b+c的值为( )
A.252或253
B.253或254
C.254或255
D.267或268
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若函数满足:在定义域内存在实数,使得成立,则称函数为“的饱和函数”.给出下列四个函数:①;②; ③;④.其中是“的饱和函数”的所有函数的序号是______________.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn (n∈N*),且S3+a3 , S5+a5 , S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若实数a使得a>Sn+ 对任意n∈N*恒成立,求a的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com