Question

（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是

x=acosφ y= 3 sinφ

（φ为参数，a＞0），直线l的参数方程是

x=3+t y=-1-t

（t为参数），曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．
（Ⅰ）求曲线C普通方程；
（Ⅱ）若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+

2π

3

)，C(ρ3，θ+

4π

3

)在曲线C上，求

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

1

|OC|2

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）消去直线l的参数t得普通方程，令y=0，得x的值，即求得直线与x轴的交点；消去曲线C的参数即得C的普通方程，再把上面求得的点代入此方程即可求出a的值；
（Ⅱ）把点A、B、C的极坐标化为直角坐标，代入曲线C的方程，可得

ρ12cos2θ

4

+

ρ12sin2θ

3

=1，即

1

ρ12

=

cos2θ

4

+

sin2θ

3

，同理得出其它，代入即可得出答案．

解答：解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程是

x=3+t y=-1-t

（t为参数），消去参数t得x+y=2，令y=0，得x=2．
∵曲线C的参数方程是

x=acosφ y= 3 sinφ

（φ为参数，a＞0），消去参数φ得

x2

a2

+

y2

3

=1，
把点（2，0）代入上述方程得a=2．
∴曲线C普通方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+

2π

3

)，C(ρ3，θ+

4π

3

)在曲线C上，即A（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），B(ρ2cos(θ+

2π

3

)，ρ2sin(θ+

2π

3

))，C(ρ3cos(θ+

4π

3

)，ρ3sin(θ+

4π

3

))在曲线C上，
∴

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

1

|OC|2

=

1

ρ12

+

1

ρ22

+

1

ρ32

=

1

4

(cos2θ+cos2(θ+

2π

3

)+cos2(θ+

4π

3

))+

1

3

(sin2θ+sin2(θ+

2π

3

)+sin2(θ+

4π

3

))
=

1

4

(

1+cos2θ

2

+

1+cos(2θ+ 4π 3 )

2

+

1+cos(2θ+ 8π 3 )

2

)+

1

3

(

1-cos2θ

2

+

1-cos(2θ+ 4π 3 )

2

+

1-cos(2θ+ 8π 3 )

2

)
=

3+cos2θ-cso(2θ+ π 3 )+cos(2θ- π 3 )

8

+

3-cos2θ+cos(2θ+ π 3 )-cos(2θ+ 2π 3 )

6

=

3

8

+

3

6

=

7

8

．

点评：正确消去参数化为普通方程、把极坐标化为直角坐标并代入曲线C的方程得出结论及熟练进行恒等变形是解题的关键．