Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点O是侧面BB₁C₁C的中心，点D为平面BB₁C₁C内一点，若AD与平面BB₁C₁C所成的角为60°，则点D可能在下列哪些位置（　　）

• A、点B和B₁处
• B、点C和C₁处
• C、点O，B₁和C₁处
• D、点O，B和C处

Answer 1

分析：本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB₁C₁C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．

解答：解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，
易得AE⊥平面BB₁C₁C，故∠ADE为AD与平面BB₁C₁C所成的角．
设各棱长为1，则AE=

3

2

，又O是侧面BB₁C₁C的中心
OE=

1

2

，tan∠ADE=

AE

OE

=

3 2

1 2

=

3

，
∴∠AOE=60°．即AO与平面BB₁C₁C所成的角为60°，
同理可求得，AB，AC与平面BB₁C₁C所成的角为60°，
故当D在点O，B，C处时AD与平面BB₁C₁C所成的角为60°，
故选D

点评：求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造--作出或找到斜线与射影所成的角；②设定--论证所作或找到的角为所求的角；③计算--常用解三角形的方法求角；④结论--点明斜线和平面所成的角的值．