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15.已知函数f(x)=$\frac{1}{{3}^{x}+\sqrt{3}}$
(1)分别计算f(0)+f(1);f(-1)+f(2);f(-2015)+f(2016)的值;
(2)试根据(1)的结果归纳猜想出一般性结论,并给出证明.

分析 (1)由f(x)=$\frac{1}{{3}^{x}+\sqrt{3}}$,利用函数的性质能求出f(0)+f(1);f(-1)+f(2);f(-2015)+f(2016)的值.
(2)猜测$f(x)+f(1-x)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.再利用函数性质进行证明.

解答 解:(1)∵f(x)=$\frac{1}{{3}^{x}+\sqrt{3}}$
∴f(0)+f(1)=$\frac{1}{{3}^{0}+\sqrt{3}}+\frac{1}{3+\sqrt{3}}$=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$;
f(-1)+f(2)=$\frac{1}{{3}^{-1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{{3}^{2}+\sqrt{3}}$=$\frac{1}{\frac{1}{3}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{3\sqrt{3}(\frac{1}{3}+\sqrt{3})}$=$\frac{3\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}(\frac{1}{3}+\sqrt{3})}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$;
f(-2015)+f(2016)=$\frac{1}{{3}^{-2015}+\sqrt{3}}+\frac{1}{{3}^{2016}+\sqrt{3}}$=$\frac{1}{{3}^{2016}+\sqrt{3}}$+$\frac{{3}^{2016}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+{3}^{2016})}$=$\frac{\sqrt{3}+{3}^{2016}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+{3}^{2016})}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(2)由(1)的结果可以猜测$f(x)+f(1-x)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
证明:f(x)+f(1-x)=$\frac{1}{{3}^{x}+\sqrt{3}}+\frac{1}{{3}^{1-x}+\sqrt{3}}$
=$\frac{1}{{3}^{x}+\sqrt{3}}+\frac{{3}^{x}}{3+\sqrt{3}•{3}^{x}}$
=$\frac{1}{{3}^{x}+\sqrt{3}}+\frac{{3}^{x}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+{3}^{x})}$
=$\frac{\sqrt{3}+{3}^{x}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+{3}^{x})}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴f(x)+f(1-x)=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

点评 本题考查函数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.

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