Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=3，S_n+1=2S_n+3-n，数列{b_n}满足b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n-1．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）是否存在实数λ，使数列{b_n}为等差数列或等比数列？若存在，求出数列{b_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由S_n+1=2S_n+3-n，得S_n=2S_n-1+3-（n-1）（n≥2），所以a_n+1=2a_n-1，n≥2，a_n+1-1=2（a₁-1），故

an+1-1

an-1

=2，n≥2，由此能求出通项公式a_n．
（II）由b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n-1，得b₁=3，b_n+1=λb_n+2ⁿ．b₂=3λ+2，b₃=3λ²+2λ+4，若数列{b_n}为等差数列，3λ²-4λ+3=0，由于关于λ的方程无实根，故不存在实数λ，使数列{b_n}为等差数列；若数列{b_n}为等比数列，则（3λ+2）²=3（3λ²+2λ+4），求得λ=

4

3

，b_n=3×2^n-1．

解答：解：（I）由S_n+1=2S_n+3-n，得S_n=2S_n-1+3-（n-1）（n≥2），
∴S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-1，即a_n+1=2a_n-1，n≥2，
∴a_n+1-1=2（a₁-1），
∵a₁=3，∴S₂=2S₁+3-1=8，a₂=5，∴

an+1-1

an-1

=2，n≥2，
∵

a2-1

a1-1

=2，
∴{a_n-1}是以a₁-1=2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n-1=2×2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ+1．
（II）由b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n-1，得b₁=3，b_n+1=λb_n+2ⁿ．
b₂=3λ+2，
b₃=3λ²+2λ+4，
①若数列{b_n}为等差数列，则2b₂=b₁+b₃，得3λ²-4λ+3=0，
∵△=（-4）²-4×3×3=-20＜0，
∴关于λ的方程无实根，
∴不存在实数λ，使数列{b_n}为等差数列．
②若数列{b_n}为等比数列，则b₂²=b₁•b₃，
得（3λ+2）²=3（3λ²+2λ+4），
求得λ=

4

3

，此时b₂=6，q=2，
∴b_n=3×2^n-1，
代入b_n+1=λb_n+a_n-1检验，此式成立．
∴当且仅当λ=

4

3

时，数列{b_n}为等比数列，且b_n=3•2^n-1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和等比关系的确定，解题时要注意构造法的合理运用和分类讨论思想的合理运用．