Question

函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x（x-2）．
（1）求函数f（x）并画出其图象；
（2）根据图象，写出f（x）的单调区间；同时写出函数的值域．

Answer 1

分析：（1）利用函数是偶函数，利用偶函数的对称性求函数的解析式．（2）根据图象写出单调区间和值域．

解答：解：（1）若x＜0时，则-x＞0
∴f（-x）=-x（-x-2）=x²+2x …（2分）
又∵f（x）为偶函数
∴f（-x）=f（x）=x²+2x 
所以f(x)=

x2-x，x≥0 x2+x，x＜0

    …（4分）
对应的图象为：
（2）由图得函数f（x）的递减区间是（-∞，-1），0，1），…（8分）
f（x）的递增区间是（1，+∞），（-1，0）．                         …（10分）
值域为{y}y≥-1}                                        …（12分）

点评：本题主要考查函数奇偶数的应用，以及函数单调性和值域的求法，比较基础．