【题目】已知函数f(x)=log2( )﹣x(m为常数)是奇函数.
(1)判断函数f(x)在x∈( ,+∞)上的单调性,并用定义法证明你的结论;
(2)若对于区间[2,5]上的任意x值,使得不等式f(x)≤2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:由条件可得f(﹣x)+f(x)=0,即 ,
化简得1﹣m2x2=1﹣4x2,从而得m=±2;由题意m=﹣2舍去,
所以m=2,即 , 上为单调减函数;
证明如下:设 ,则f(x1)﹣f(x2)=log2( )﹣x1﹣log2( )+x2,
因为 <x1<x2,所以x2﹣x1>0,2x1﹣1>0,2x2﹣1>0;
所以f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2);
所以函数f(x)在x∈( ,+∞)上为单调减函数
(2)解:设g(x)=f(x)﹣2x,由(1)得f(x)在x∈( ,+∞)上为单调减函数,
所以g(x)=f(x)﹣2x在[2,5]上单调递减;
所以g(x)=f(x)﹣2x在[2,5]上的最大值为 ,
由题意知n≥g(x)在[2,5]上的最大值,所以
【解析】(1)求出m的值,求出f(x)的解析式,根据函数单调性的定义证明即可;(2)设g(x)=f(x)﹣2x,根据函数的单调性求出g(x)的最大值,从而求出n的范围即可.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量 , ,且 .
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,△ABC的面积为 ,求a+c的值.
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【题目】已知函数f(x)=ex+ax﹣1(e为自然对数的底数). (Ⅰ)当a=1时,求过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;
(Ⅱ)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知二次函数f(x)=mx2+4x+1,且满足f(﹣1)=f(3).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)的定义域为(﹣2,2),求f(x)的值域.
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【题目】已知点P(x,y)在圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0上
(1)求 的最大值和最小值;
(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值;
(3)求x+y的最大值与最小值.
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【题目】已知直线l过点P(﹣1,3). (Ⅰ)若直线l与直线m:3x+y﹣1=0垂直,求直线l的一般式方程;
(Ⅱ)写出(Ⅰ)中直线l的截距式方程,并求直线l与坐标轴围成的三角形的面积.
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【题目】已知向量 =(1,sinθ), =(3,1).
(1)当θ= 时,求向量2 + 的坐标;
(2)若 ∥ ,且θ∈(0, ),求sin(2θ+ )的值.
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