Question

【题目】已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.

（1）若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；

（2）若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）an＝＋·

【解析】

试题分析：（1）因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此.又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，解得p＝或p＝0.当p＝0时，an＋1＝an，这与{an}是递增数列矛盾，故p＝.

（2）由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1>0，于是（a2n＋1－a2n）＋（a2n－a2n－1）>0.①

因为<，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.②

由①②知，a2n－a2n－1>0，因此a2n－a2n－1＝＝.③

因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n＋1－a2n<0，故a2n＋1－a2n＝－＝.④

由③④可知，an＋1－an＝.

于是an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋－＋…＋

＝1＋·＝＋·.

故数列{an}的通项公式为an＝＋·