Question

如图，A（-1，0），B（1，0），过曲线C₁：y=x²-1（|x|≥1）上一点M的切线l，与曲线C2：y=-

m(1-x2)

(|x|＜1)也相切于点N，记点M的横坐标为t（t＞1）．
（1）用t表示m的值和点N的坐标；
（2）当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求此时MN所在直线的方程．

Answer 1

分析：（1）依题意可表示出切线的方程整理后代入C₂的方程整理求得m和t的关系式，利用判别式等于0求得m=0或m和t的关系式，先看当m=0时，代入上式判断出不符合题意；进而看m=（t²-1）²，代入上式，满足条件，最后可得m的表达式及N的坐标．
（2）表示出直线AM和AN的斜率，若∠MAB=∠NAB，则k_AM=-k_AN，求得t，进而根据（1）中m和t的关系式，求得m，进而求得M，N的坐标，利用两点式求得MN所在直线的方程．

解答：解：（1）切线l：y-（t²-1）=2t（x-t），即y=2tx-t²-1，
代入y=-

m(1-x2)

，
化简并整理得（m+4t²）x²-4t（t²+1）x+（t²+1）²-m=0，（*）
由△=16t²（t²+1）²+4（m+4t²）[m-（t²+1）²]=4m[m-（t²-1）²]=0
得m=0或m=（t²-1）²．
若m=0，代入（*）式得xN=

t2+1

2t

＞1，与已知|x_N|＜1矛盾；
若m=（t²-1）²，代入（*）式得xN=

2t

t2+1

∈(0，1)满足条件，
且yN=2txN-t2-1=-

(t2-1)2

t2+1

，
综上，m=（t²-1）²，点N的坐标为(

2t

t2+1

，-

(t2-1)2

t2+1

)．
（2）因为kAM=

t2-1

t+1

=t-1，kAN=

- (t2-1)2 t2+1

2t t2+1 +1

=-(t-1)2，
若∠MAB=∠NAB，则k_AM=-k_AN，即t=2，此时m=9，
故当实数m=9时，∠MAB=∠NAB．
此时k_AM=1，k_AN=-1，∠MAB=∠NAB=45°，
易得M（2，3），N(

4

5

，-

9

5

)，
此时MN所在直线的方程为y=4x-5．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题的能力，推理计算能力，知识的综合问题．