Question

【题目】已知函数（为常数，为自然对数的底数）的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数的取值范围是（ ）

A.B.或

C.D.或

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用导数的额几何意义求出切线方程，根据分段函数图象与切线恰好有三个公共点，得到当时，切线与有两个不同的交点，利用二次函数根的分布建立不等式关系，即可求出实数的取值范围.

解：由，，得，则（e），

在点处的切线方程为：，①

由于函数，②

由①②联立方程组可得：，

化简得：，③

要使得函数在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，

切线与，，在点有一个交点，

只需要满足③式在内有两个不相同的实数根即可，

则只需和抛物线对称轴小于1，且当时，

才能保证在内有两个不相同的实数根，

则，即，

解得：，

的范围：或.

故选：D．