Question

13．设F₁、F₂分别是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点，M是C上一点且MF₂与x轴垂直，直线MF₁与椭圆C的另一个交点为N．若直线MN的斜率为$\frac{3}{4}$，则C的离心率等于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，把x=c代入椭圆方程可得M$（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$．利用${k}_{M{F}_{1}}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{2c}$=$\frac{3}{4}$，化简整理即可得出．

解答 解：如图所示，
把x=c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=$±\frac{{b}^{2}}{a}$，
可得M$（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$．
∴${k}_{M{F}_{1}}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{2c}$=$\frac{3}{4}$，
化为3ac=2b²=2（a²-c²），
化为2e²+3e-2=0，
又0＜e＜1，
解得e=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．