Question

2．已知函数f（x）=lnx+ax²．
（Ⅰ）记m（x）=f′（x），若m′（1）=3，求实数a的值；
（Ⅱ已知函数g（x）=f（x）-ax²+ax，若g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出m（x），计算m′（1），从而求出a的值即可；
（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，问题转化为a≥-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）成立，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）m（x）=$\frac{1}{x}$+2ax，m′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a，
则m′（1）=-1+2a=3，解得：a=2；
（Ⅱ）g（x）=lnx+ax²-ax²+ax=lnx+ax，
g′（x）=$\frac{1}{x}$+a，
若g（x）在（0，+∞）上单调递增，
则g′（x）≥0在（0，+∞）成立，
则a≥-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）成立，
故a≥0．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．