Question

15．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=AA₁=4，AB=5，D是线段AB上一点．
（1）设$\overrightarrow{AB}$=5$\overrightarrow{AD}$，求异面直线AC₁与CD所成角的余弦值；
（2）若AC₁∥平面B₁CD，求二面角D-CB₁-B的正切值．

Answer 1

分析 （1）以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC₁与CD所成角的余弦值．
（2）连结BC₁，交B₁C于点O，求出平面CDB₁的一个法向量和平面CBB₁的一个法向量，利用向量法能求出二面角D-CB₁-B的正切值．

解答 解：（1）由AC=3，BC=4，AB=5，得∠ACB=90°，
以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），C（0，0，0），设D（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AB}$=5$\overrightarrow{AD}$，∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}$=（3，0，0）+$\frac{1}{5}$（-3，4，0）=（$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），
设异面直线AC₁与CD所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{CD}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{CD}|}$|=$\frac{9\sqrt{10}}{50}$．
∴异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为$\frac{9\sqrt{10}}{50}$．
（2）连结BC₁，交B₁C于点O，则O为BC₁的中点，
∵平面ABC₁∩平面B₁CD=OD，且AC₁∥平面B₁CD，
∴OD∥AC₁，∴D为AB的中点，
∴$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{3}{2}$，2，0），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，4），
设平面CDB₁的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+4z=0}\end{array}\right.$，取x=4，得$\overrightarrow{n}$=（4，-3，3），
平面CBB₁的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$，
∵二面角D-CB₁-B的平面角α为锐角，
∴cosα=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$，sinα=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{34}}{17}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
∴tanα=$\frac{\frac{3\sqrt{17}}{17}}{\frac{2\sqrt{34}}{17}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴二面角D-CB₁-B的正切值为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．