Question

已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P（2，-1），且截x轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程．

Answer 1

解：设圆方程为（x-a）²+（y-b）²=r²
过P点，且垂直于直线3x+4y-2=0的直线为y+1=（x-2），即4x-3y-11=0
圆心（a，b）在此直线上，且到点P的距离d=r，即：
①4a-3b-11=0，
②=r
将y=0代入圆方程，得：（x-a）²+b²=r²，
解得x₁=a+，x₂=a-
圆截x轴正半轴所得弦长8=|x₁-x₂|=2，即r²-b²=16 ③
①②③联立解得：r=5，a=5，b=3
所以圆方程为（x-5）²+（y-3）²=25
分析：我们可以使用待定系数法求圆的标准方程，即先设圆方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，再根据直线3x+4y-2=0相切于点P（2，-1），可得圆心在过P点切与直线3x+4y-2=0垂直的直线上，圆心到直线3x+4y-2=0的距离等于半径，再由截x轴的正半轴所得的弦的长为8，我们可以构造一个关于a，b，r的方程组，解方程组求出a，b，r的值，即可得到此圆的标准方程．
点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，圆的标准方程等，求圆的方程一般使用待定系数法，即先设圆方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，再根据题目中的其它条件构造一个关于a，b，r的方程组，解方程组求出a，b，r的值，求出圆的方程．