Question

【题目】已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，圆心C的轨迹为E，

（1）求圆心C的轨迹E的方程；

（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．

Answer 1

【答案】（1）y2=8x（2）

【解析】

根据题意，动圆的圆心C到定点F距离等于圆心C到直线的距离，可判断圆心C的轨迹为抛物线，由抛物线定义即可求得E的轨迹方程。

设出直线斜率，及P、Q的坐标，根据中点坐标利用点差法求出斜率，可得直线方程，联立抛物线方程，利用弦长公式即可求出。

解：（1）由题设知，点C到点F的距离等于它到直线x=-2的距离，

所以点C的轨迹是以F为焦点x=-2为基准线的抛物线，

所以所求E的轨迹方程为y2=8x．

（2）由题意已知，直线l的斜率显然存在，

设直线l的斜率为k，

则有，

两式作差得即得，

因为线段PQ的中点的坐标为（1，1），所以k=4，

则直线l的方程为y-1=4（x-1），即y=4x-3，

与y2=8x联立得16x2-32x+9=0，

得，

．