Question

已知直线方程为（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．
（Ⅰ）若直线不经过第一象限，求m的范围；
（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ） （法一）1-2m=0，即m=

1

2

时，x=1，不过第一象限，故m=

1

2

.1-2m≠0，即m≠

1

2

时，y=

2+m

2m-1

x+

3m-4

1-2m

，由此能求出m的范围．
（法二）（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0化为（x-2y-3）m=-2x-y-4．由

x-2y-3=0 -2x-y-4=0

得 

x=-1 y=-2

，直线必过定点（-1，-2）．由此能求出m的范围．
（Ⅱ）设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），故OA=|

2

k

-1|，OB=|k-2|，…（8分）S_△AOB=

1

2

•OA•OB=

1

2

|（

2

k

-1）（k-2）|=

1

2

|-

(k-2)2

k

|，由此能求出△AOB面积的最小值和此时直线的方程．

解答：解：（Ⅰ） （法一）①1-2m=0，即m=

1

2

时，x=1，不过第一象限，∴m=

1

2

．
②1-2m≠0，即m≠

1

2

时，
y=

2+m

2m-1

x+

3m-4

1-2m

，
∴

2+m 2m-1 ≤0 3m-4 1-2m ≤0

，
∴

-2≤m＜ 1 2 m≥ 4 3 ，或m＜ 1 2

，
∴-

1

2

≤m≤

1

2

．
（法二）解：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0化为（x-2y-3）m=-2x-y-4．…（3分）
由

x-2y-3=0 -2x-y-4=0

得 

x=-1 y=-2

，
∴直线必过定点（-1，-2）．                  …（6分）
∴1-2m=0或者

2+m

2m-1

≤0，
∴-

1

2

≤m≤

1

2

．
（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），
∴OA=|

2

k

-1|，OB=|k-2|，…（8分）
S_△AOB=

1

2

•OA•OB=

1

2

|（

2

k

-1）（k-2）|=

1

2

|-

(k-2)2

k

|..…（10分）
∵k＜0，∴-k＞0，
∴S_△AOB=

1

2

[-

(k-2)2

k

]=

1

2

[4+（-

4

k

）+（-k）]≥4．
当且仅当-

4

k

=-k，即k=-2时取等号．…（13分）
∴△AOB的面积最小值是4，…（14分）
直线的方程为y+2=-2（x+1），即y+2x+4=0．

点评：本题考查考查实数取值范围的求法，考查三角形面积最小值的求法和直线方程的求法．解题时要认真审题，注意直线方程知识的灵活运用．