Question

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根； ②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”
（I）判断函数f(x)=

x

2

+

sinx

4

是否是集合M中的元素，并说明理由；
（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x₀∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x₀）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根．

Answer 1

分析：（I）判定函数 f(x)=

x

2

+

sinx

4

是否满足：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．”
（II）证明只有一个的问题，可利用反正法进行证明，假设方程f（x）-x=0存在两个实数根α，β（α≠β），然后寻找矛盾，从而肯定结论．

解答：解：（I）因为f′(x)=

1

2

+

1

4

cosx，
所以f′(x)∈[

1

4

，

3

4

]满足条件0＜f'（x）＜1，
又因为当x=0时，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有实数根0．
所以函数f(x)=

x

2

+

sinx

4

是集合M中的元素．
（II）证明：假设方程f（x）-x=0存在两个实数根α，β（α≠β），
则f（α）-α=0，f（β）-β=0
不妨设α＜β，根据题意存在数c∈（α，β），
使得等式f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立
因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，所以f'（c）=1
与已知0＜f'（x）＜1矛盾，所以方程f（x）-x=0只有一个实数根．

点评：本题考查了导数的运算，方程的解、三角函数性质，等知识，考查反证法、以及阅读能力，是一道函数综合问题．