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【题目】已知函数有唯一零点,则a=

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析:通过转化可知问题等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(+)的图象只有一个交点求a的值.分a=0、a<0、a>0三种情况,结合函数的单调性分析可得结论.

详解因为f(x)=﹣8+2(x﹣2)2+a(+)=0,

所以函数f(x)有唯一零点等价于方程8﹣2(x﹣2)2= a(+)有唯一解,

等价于函数y=8﹣2(x﹣2)2的图象与y= a(+)的图象只有一个交点.

当a=0时,f(x)=﹣8,此时有两个零点,矛盾;

当a0时,由于y=8﹣2(x﹣2)2在(﹣∞,2)上递增、在(2,+∞)上递减,

且a(+)在(﹣∞,2)上递增、在(2,+∞)上递减,

所以函数y=8﹣2(x﹣2)2的图象的最高点为A(2,8),y= a(+)的图象的最高点为B(2,2a),

由于2a<0<8,此时函数y=8﹣2(x﹣2)2的图象与a(+的图象有两个交点,矛盾;

当a0时,由于y=8﹣2(x﹣2)2在(﹣∞,2)上递增、在(2,+∞)上递减,

且y= a(+在(﹣∞,2)上递减、在(2,+∞)上递增,

所以函数y=8﹣2(x﹣2)2的图象的最高点为A(2,8),y= a(+的图象的最低点为B(2,2a),

由题可知点A与点B重合时满足条件,即2a=8,即a=,符合条件;

综上所述,a=

故选:A.

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