【题目】已知函数有唯一零点,则a=
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析:通过转化可知问题等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(+)的图象只有一个交点求a的值.分a=0、a<0、a>0三种情况,结合函数的单调性分析可得结论.
详解:因为f(x)=﹣8+2(x﹣2)2+a(+)=0,
所以函数f(x)有唯一零点等价于方程8﹣2(x﹣2)2= a(+)有唯一解,
等价于函数y=8﹣2(x﹣2)2的图象与y= a(+)的图象只有一个交点.
当a=0时,f(x)=≥﹣8,此时有两个零点,矛盾;
当a<0时,由于y=8﹣2(x﹣2)2在(﹣∞,2)上递增、在(2,+∞)上递减,
且a(+)在(﹣∞,2)上递增、在(2,+∞)上递减,
所以函数y=8﹣2(x﹣2)2的图象的最高点为A(2,8),y= a(+)的图象的最高点为B(2,2a),
由于2a<0<8,此时函数y=8﹣2(x﹣2)2的图象与a(+)的图象有两个交点,矛盾;
当a>0时,由于y=8﹣2(x﹣2)2在(﹣∞,2)上递增、在(2,+∞)上递减,
且y= a(+)在(﹣∞,2)上递减、在(2,+∞)上递增,
所以函数y=8﹣2(x﹣2)2的图象的最高点为A(2,8),y= a(+)的图象的最低点为B(2,2a),
由题可知点A与点B重合时满足条件,即2a=8,即a=,符合条件;
综上所述,a=,
故选:A.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,E,M分别是AD,PD的中点,PE⊥BE,PA=PD=AD=2,AB=.
(1)求证:PB∥平面MAC.
(2)求证:平面MAC⊥平面PBE.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
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【题目】将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)具有性质_____.(填入所有正确结论的序号)
①最大值为,图象关于直线对称;
②图象关于y轴对称;
③最小正周期为π;
④图象关于点对称.
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【题目】已知抛物线C的顶点为原点,焦点F与圆的圆心重合.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)设定点,当P点在C上何处时,的值最小,并求最小值及点P的坐标;
(3)若弦过焦点,求证:为定值.
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【题目】给出下列两个命题:命题p1:a,b∈(0,+∞),当a+b=1时, + =4;命题p2:函数y=ln 是偶函数.则下列命题是真命题的是( )
A.p1∧p2
B.p1∧(¬p2)
C.(¬p1)∨p2
D.(¬p1)∨(¬p2)
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