Question

已知x=是的一个极值点．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）设，试问过点（2，5）可作多少条曲线y=g（x）的切线？为什么？

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=2++，∵x=是的一个极值点，
∴f′（）=0，即 2+4b+2=0，得b=-1，当b=-1时，f′（x）=，
当0时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，所以x=为f（x）的极小值点，
所以b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=，令f′（x）＞0得x＞，
∴函数f（x）的单调增区间为．
（Ⅲ）=2x+lnx，
设切点坐标为（x₀，2x₀+lnx₀），则斜率为2+，切线方程为：y-2x₀-lnx₀=（2+）（x-x₀）．
∴又切线过点（2，5），∴5-2x₀-lnx₀=（2+）（2-x₀），
即，令h（x）=，
则h′（x）==0，得x=2．
h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增又∵，h（2）=ln2-1＜0，
∴h（x）与x轴有两个交点，
故过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．
分析：（Ⅰ）解f′（）=0得到b值，再验证x=为极值点．
（Ⅱ）在定义域内解不等式f′（x）＞0即可．
（Ⅲ）设切点坐标，表示出切线方程，转化为方程的解的个数问题，进一步利用数形结合即可求得．
点评：本题考查了应用导数研究函数的极值、单调性问题，难度稍大，注意本题中数形结合思想与转化思想的运用．