【题目】已知各项为正的等比数列{an}的前n项和为Sn , S4=30,过点P(n,log2an)和Q(n+2,log2an+1)(n∈N*)的直线的一个方向向量为(﹣1,﹣1)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= ,数列{bn}的前n项和为Tn , 证明:对于任意n∈N* , 都有Tn .
【答案】
(1)解:∵各项为正的等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=30,
过点P(n,log2an)和Q(n+2,log2an+1)(n∈N*)的直线的一个方向向量为(﹣1,﹣1),
∴ ,
解得 ,q=4,
∴an= .
(2)解:∵bn= = = ( ﹣ ),
∴数列{bn}的前n项和:
Tn= ( + + +…+ + )
= ( ﹣ )
= ( + ﹣ ﹣ )
< .
∴对于任意n∈N*,都有Tn
【解析】(1)利用等比数列前n项和公式及直线的方向向量性质列出方程组,由此能求出首项和公比,从而能求出数列{an}的通项公式.(2)由bn= = ( ﹣ ),利用裂项法能证明对于任意n∈N* , 都有Tn .
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】设函数f(x)=lnx﹣ ax2﹣bx,若x=1是f(x)的极大值点,则a的取值范围为( )
A.(﹣1,0)
B.(﹣1,+∞)
C.(0,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)
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【题目】设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
B.(﹣1,0)∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆P: (a>b>0)的右焦点,已知A(0,﹣2)与椭圆左顶点关于直线y=x对称,且直线AF的斜率为 ,
(1)求椭圆P的方程;
(2)过点Q(﹣1,0)的直线l交椭圆P于M、N两点,交直线x=﹣4于点E, = , = ,证明:λ+μ为定值.
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【题目】(分)已知椭圆的左焦点为,过的直线与交于、两点.
()求椭圆的离心率.
()当直线与轴垂直时,求线段的长.
()设线段的中点为,为坐标原点,直线交椭圆交于、两点,是否存在直线使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,AC是弦,AD⊥CE,垂足为D,AC平分∠BAD.
(1)求证:直线CE是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=ABAD.
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【题目】如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1 , a2 , …,an , 输出A,B,则( )
A.A+B为a1 , a2 , …,an的和
B. 为a1 , a2 , …,an的算术平均数
C.A和B分别是a1 , a2 , …,an中最大的数和最小的数
D.A和B分别是a1 , a2 , …,an中最小的数和最大的数
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