Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

(1)求证：DC⊥平面ABC；
(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值；
(3)求二面角B－EF－A的余弦值．

Answer 1

（1）见解析（2）（3）－

(1)∵平面ABD⊥平面BDC，又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BDC，故AB⊥DC，又∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，BC?ABC平面ABC，DC平面ABC，故DC⊥平面ABC.
(2)如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD＝a，则BD＝AB＝2a，BC＝a，AD＝2a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，C，F(a，0，a)，

∴＝，＝(a，0，a)．
设BF与平面ABC所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC，
∴cos＝＝＝，∴sinθ＝.
(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，
∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角.
在△AEB中，AE＝BE＝AC＝a，
∴cos∠AEB＝＝－，即所求二面角B－EF－A的余弦为－.