Question

18．设a_n为下述正整数N的个数：N的各位数字之和为n，且每位数字只能取1，3或4．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）对?n∈N^*，试探究a_2n•a_2n+2与a²_2n+1的大小关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）n=1，则N=1，可得a₁=1；同理可得a₂=1；a₃=2；a₄=4；
（2）由（1）猜想：a_2n•a_2n+2=a²_2n+1；记$N=\overline{{x_1}{x_2}…{x_k}}$，其中x₁，x₂，…，x_k∈{1，3，4}且x₁+x₂+…+x_k=n．假定n＞4，删去x₁，则当x₁依次取1，3，4时，x₂+x₃+…+x_k分别等于n-1，n-3，n-4．故当n＞4时，a_n=a_n-1+a_n-3+a_n-4． 先用数学归纳法证明下式成立：a_2n+1=a_2n+a_2n-1，再用数学数学归纳法证明下式成立：a_2n•a_2n+2=a²_2n+1即可．

解答 解：（1）n=1，则N=1，∴a₁=1；
n=2，则N=11，∴a₂=1；
n=3，则N=111或N=3，∴a₃=2；
n=4，则N=1111，N=13，N=31，N=4，∴a₄=4；
综上：a₁=1，a₂=1，a₃=2，a₄=4．
（2）由（1）猜想：a_2n•a_2n+2=a²_2n+1；
记$N=\overline{{x_1}{x_2}…{x_k}}$，其中x₁，x₂，…，x_k∈{1，3，4}且x₁+x₂+…+x_k=n．
假定n＞4，删去x₁，则当x₁依次取1，3，4时，x₂+x₃+…+x_k分别等于n-1，n-3，n-4．
故当n＞4时，a_n=a_n-1+a_n-3+a_n-4． 
先用数学归纳法证明下式成立：a_2n+1=a_2n+a_2n-1
①n=1时，由（1）得：a₃=a₁+a₂，结论成立；
②假设n=k时，a_2k+1=a_2k+a_2k-1；
当n=k+1时，a_2k+3=a_2k+2+a_2k+a_2k-1=a_2k+2+a_2k+（a_2k+1-a_2k）=a_2k+2+a_2k+1
∴n=k+1时，结论成立；
综合①②，a_2n+1=a_2n+a_2n-1，n∈N*． 
再用数学数学归纳法证明下式成立：a_2n•a_2n+2=a²_2n+1；
①n=1时，由（1）得：${a_2}{a_4}={a_3}^2$，结论成立；
②假设n=k时，a_2k•a_2k+2=${a}_{2k+1}^{2}$；
当n=k+1时，a_2k+2•a_2k+4=a_2k+2•（a_2k+3+a_2k+1+a_2k）=a_2k+2a_2k+3+a_2k+2a_2k+1+${a}_{2k+1}^{2}$=a_2k+2a_2k+3+a_2k+1（a_2k+2+a_2k+1）
=a_2k+2a_2k+3+a_2k+1a_2k+3=a_2k+3（a_2k+2+a_2k+1）=${a}_{2k+3}^{2}$．
∴n=k+1时，结论成立；
综合①②，a_2n•a_2n+2=a²_2n+1，n∈N^*．

点评 本题考查了数学归纳法，考查了猜想归纳推理计算能力及其分析问题与解决问题的能力，属于难题．