分析 (1)n=1,则N=1,可得a1=1;同理可得a2=1;a3=2;a4=4;
(2)由(1)猜想:a2n•a2n+2=a22n+1;记$N=\overline{{x_1}{x_2}…{x_k}}$,其中x1,x2,…,xk∈{1,3,4}且x1+x2+…+xk=n.假定n>4,删去x1,则当x1依次取1,3,4时,x2+x3+…+xk分别等于n-1,n-3,n-4.故当n>4时,an=an-1+an-3+an-4. 先用数学归纳法证明下式成立:a2n+1=a2n+a2n-1,再用数学数学归纳法证明下式成立:a2n•a2n+2=a22n+1即可.
解答 解:(1)n=1,则N=1,∴a1=1;
n=2,则N=11,∴a2=1;
n=3,则N=111或N=3,∴a3=2;
n=4,则N=1111,N=13,N=31,N=4,∴a4=4;
综上:a1=1,a2=1,a3=2,a4=4.
(2)由(1)猜想:a2n•a2n+2=a22n+1;
记$N=\overline{{x_1}{x_2}…{x_k}}$,其中x1,x2,…,xk∈{1,3,4}且x1+x2+…+xk=n.
假定n>4,删去x1,则当x1依次取1,3,4时,x2+x3+…+xk分别等于n-1,n-3,n-4.
故当n>4时,an=an-1+an-3+an-4.
先用数学归纳法证明下式成立:a2n+1=a2n+a2n-1
①n=1时,由(1)得:a3=a1+a2,结论成立;
②假设n=k时,a2k+1=a2k+a2k-1;
当n=k+1时,a2k+3=a2k+2+a2k+a2k-1=a2k+2+a2k+(a2k+1-a2k)=a2k+2+a2k+1
∴n=k+1时,结论成立;
综合①②,a2n+1=a2n+a2n-1,n∈N*.
再用数学数学归纳法证明下式成立:a2n•a2n+2=a22n+1;
①n=1时,由(1)得:${a_2}{a_4}={a_3}^2$,结论成立;
②假设n=k时,a2k•a2k+2=${a}_{2k+1}^{2}$;
当n=k+1时,a2k+2•a2k+4=a2k+2•(a2k+3+a2k+1+a2k)=a2k+2a2k+3+a2k+2a2k+1+${a}_{2k+1}^{2}$=a2k+2a2k+3+a2k+1(a2k+2+a2k+1)
=a2k+2a2k+3+a2k+1a2k+3=a2k+3(a2k+2+a2k+1)=${a}_{2k+3}^{2}$.
∴n=k+1时,结论成立;
综合①②,a2n•a2n+2=a22n+1,n∈N*.
点评 本题考查了数学归纳法,考查了猜想归纳推理计算能力及其分析问题与解决问题的能力,属于难题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | m+n<0 | B. | m+n>0 | C. | m>n | D. | m<n |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMB | B. | 异面直线AD与PB所成的角为90° | ||
C. | 二面角P-BC-A的大小为45° | D. | BD⊥平面PAC |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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