Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点M（1，-3）N（5，1），若点C满足

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设点C的轨迹与抛物线y²=4x交于A、B两点，求证：

OA

⊥

OB

；
（Ⅲ）求以AB为直径的圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，由此可求出点C的轨迹方程．
（Ⅱ）由

y=x-4 y2=4x

?(x-4)2=4x?x2-12x+16=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），能够推导出x₁x₂+y₁y₂=0，故

OA

⊥

OB

．
（Ⅲ）由题意知AB的中点C的坐标为（6，2）．|OC|=2

10

为圆的半径．由此可知所求圆的方程为（x-6）²+（y-2）²=40．

解答：解：（Ⅰ）：由

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)
知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，
故点C的轨迹方程是：y+3=

1-(-3)

4

(x-1)即y=x-4（3分）
（Ⅱ）由

y=x-4 y2=4x

?(x-4)2=4x?x2-12x+16=0（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）∴x₁x₂=16x₁+x₂=12（6分）
∴y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=-16（8分）
∴x₁x₂+y₁y₂=0故

OA

⊥

OB

（10分）
（Ⅲ）∵x₁+x₂=12，∴y₁+y₂=x₁+x₂-8=12-8=4
∴AB的中点C的坐标为（6，2）．
又∵

OA

⊥

OB

，∴|OC|=2

10

为圆的半径．
∴所求圆的方程为（x-6）²+（y-2）²=40（14分）

点评：本题以圆的知识为载体考查轨迹的方程，解题时要认真审题，仔细解答．