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2.在直角坐标系中,曲线C1:$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=asinθ}\end{array}}$(θ为参数,a>0)过点P($\frac{3}{2},\sqrt{3}$),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$.
(Ⅰ)求曲线C1与直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)在C1上求一点M,使点M到直线l的距离最小,求出最小距离及点M的坐标.

分析 (I)由曲线${C_1}:\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=asinθ}\end{array}}\right.$(θ为参数),cos2θ+sin2θ=1,可得$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{a^2}=1$,把$P(\frac{3}{2},\sqrt{3})$代入方程即可得出.直线l的极坐标方程为$cosθ+2sinθ=\frac{10}{ρ}$,将极坐标方程两边同乘ρ可得:ρcosθ+2ρsinθ=10,利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程.
(II)由椭圆的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$(θ为参数),可设点M(3cosθ,2sinθ),由点到直线的距离公式,点M到直线的距离为$d=\frac{{\begin{array}{l}{|3cosθ+4sinθ-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\begin{array}{l}{|5cos(θ-{θ_0})-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}$.利用三角函数的单调性与值域即可得出.

解答 解:(I)∵曲线${C_1}:\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=asinθ}\end{array}}\right.$(θ为参数),cos2θ+sin2θ=1,
∴$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{a^2}=1$,
∵$P(\frac{3}{2},\sqrt{3})$在曲线C1上,则代入方程有a2=4,
∴${C_1}:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$.
∵直线l的极坐标方程为$cosθ+2sinθ=\frac{10}{ρ}$,将极坐标方程两边同乘ρ可得:ρcosθ+2ρsinθ=10,
∴直线l的直角坐标方程x+2y-10=0.
(II)∵椭圆的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$(θ为参数),
∴可设点M(3cosθ,2sinθ),由点到直线的距离公式,点M到直线的距离为$d=\frac{{\begin{array}{l}{|3cosθ+4sinθ-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\begin{array}{l}{|5cos(θ-{θ_0})-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}$.
其中$cos{θ_0}=\frac{3}{5}$,$sin{θ_0}=\frac{4}{5}$,由三角函数性质知,当θ-θ0=0时,d取最小值为${d_{min}}=\sqrt{5}$.
此时$3cosθ=3cos{θ_0}=\frac{9}{5}$,$2sinθ=2sin{θ_0}=\frac{8}{5}$,
即点$M(\frac{9}{5},\frac{8}{5})$.

点评 本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程的方法、椭圆的参数方程及其应用、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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