Question

已知a，b为两个正数，且a＞b，设a₁=，b₁=，当n≥2，n∈N^*时，a_n=，b_n=．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是递减数列，数列{b_n}是递增数列；
（Ⅱ）求证：a_n+1-b_n+1＜（a_n-b_n）；
（Ⅲ）是否存在常数C＞0使得对任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）易知对任意n∈N^*，a_n＞0，b_n＞0．根据基本不等式可知对任意n∈N^*，a_n＞b_n，判定符号可得数列{a_n}的单调性，，从而得到数列{b_n}的单调性； 
（II）根据题意可知，然后利用放缩法即可证得结论；
（III）若存在常数C＞0使得对任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，则对任意n∈N^*，，即对任意n∈N^*成立，设[x]表示不超过x最大整数，则有，即当时，与对任意n∈N^*成立矛盾．从而所以，不存在常数C＞0使得对任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C．
解答：（共13分）
（Ⅰ）证明：易知对任意n∈N^*，a_n＞0，b_n＞0．
由a≠b，可知，即a₁＞b₁．
同理，，即a₂＞b₂．
可知对任意n∈N^*，a_n＞b_n．，
所以数列{a_n}是递减数列．，
所以数列{b_n}是递增数列．              …（5分）
（Ⅱ）证明：．…（10分）
（Ⅲ）解：由，可得．
若存在常数C＞0使得对任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，
则对任意n∈N^*，．
即对任意n∈N^*成立．
即对任意n∈N^*成立．
设[x]表示不超过x最大整数，则有．
即当时，．
与对任意n∈N^*成立矛盾．
所以，不存在常数C＞0使得对任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C． …（14分）
点评：本题主要考查了数列的单调性的判定，以及利用放缩法证明不等式，同时考查了横成立问题，属于难题．