Question

（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M(2,1)
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线平行于，且与椭圆交于A、B两个不同点.
（ⅰ）若为钝角，求直线在轴上的截距m的取值范围；
（ⅱ）求证直线MA、MB与x轴围成的三角形总是等腰三角形.

Answer 1

（1）（2）（3）利用直线MA、MB的倾斜角互补，
证明直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形

试题分析：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，
则 解得 
∴椭圆的方程为.             ………………………… 4分
（Ⅱ）（ⅰ）由直线平行于OM，得直线的斜率，
又在轴上的截距为m，所以的方程为. 
由 得.
又直线与椭圆交于A、B两个不同点，
，于是. ……………… 6分
为钝角等价于且，             
设，

，
由韦达定理，代入上式，
化简整理得，即，故所求范围是.
……………………………………………8分
（ⅱ）依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为，.
由，.      ………………………………10分
而

. 
所以 , 故直线MA、MB的倾斜角互补，
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．…………………… 13分
点评：对于解决解析几何的方程问题，一般都是利用其性质得到a,b,c的关系式，然后求解得到，而对于直线与椭圆的位置关系，通常利用设而不求的数学思想，结合韦达定理，以及判别式来分析求解。尤其关注图形的特点与斜率和向量之间的关系转换，属于难度题。