Question

如图，边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，点F为BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A₁．
（1）求证：A₁D⊥EF；
（2）M为EF的中点，求DM与面A₁EF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）证明A₁D⊥EF，只要证明A₁D⊥平面A₁EF即可；
（2）由（1）知 A₁D⊥平面 A₁EF，连接A₁M，则∠A₁MD为DM与面A₁EF所成角，在直角△A₁MD中，可求sin∠A₁MD．

解答：（1）证明：由题知，∵A₁D⊥A₁E，A₁D⊥A₁F，A₁E∩A₁F=A
∴A₁D⊥平面A₁EF
∵EF?平面A₁EF
∴A₁D⊥EF
（2）解：由（1）知 A₁D⊥平面 A₁EF，连接A₁M，则∠A₁MD为DM与面A₁EF所成角
∵边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，点F为BC的中点
∴|BD|=2

2

，|BM|=

2

2

，|DM|=|BD|-|BM|=

3 2

2

在直角△A₁MD中，|A₁D|=2，∴sin∠A₁MD=

2 2

3

∴DM与面A₁EF所成角的正弦值为

2 2

3

．

点评：本题考查线面垂直的判断，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定定理，正确作出线面角．