Question

【题目】已知直线l：与椭圆交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的一个动点，点Q在直线AB上，满足(为坐标原点)

（1）求点Q的轨迹方程；

（2）求四边形OAPB的面积S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2） 最大值12．

【解析】

（1）由条件用Q点坐标表示出P点坐标，再代入椭圆方程即可得到Q点的轨迹方程；

（2）由Q的轨迹与直线l有交点，求出k，m的不等关系，由有，求出的表达式，然后换元，利用k，m的不等关系求出新的自变量的范围，从而可求面积的最大值．

（1）设，；

由有：，

又点P在椭圆C上，则，即，

所以点Q的轨迹方程：；

（2）设，，由有，

则消去y可得：，

则，，

又直线l与椭圆有公共点；

所以有：，

，即，

原点到直线l的距离为，又，则，

设，则，

当时，即时，有最大值4，

故S有最大值12．