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14.已知数列{an}的前n项和为Sn,对于任意的正整数n都有Sn=n2,且各项均为正数的等比数列{bn}中,b6=b3b4,且b3和b5的等差中项是10.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Tn

分析 (1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1,即可得出an;等比数列{bn}中,由b6=b3b4,利用等比数列的通项公式可得b1.设公比q>0,由b3和b5的等差中项是10.可知
b3+b5=20.解得q,从而得到bn
(2)cn=an•bn=(2n-1)•2n-1,利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.

解答 解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
经检验n=1时也成立,
∴an=2n-1;
等比数列{bn}中,∵b6=b3b4,∴${b}_{1}{q}^{5}$=${b}_{1}^{2}{q}^{2}•{q}^{3}$,解得b1=1.
设公比q>0,由b3和b5的等差中项是10.
可知b3+b5=20.
∴q2+q4=20,
解得q=2,
从而bn=2n-1
(2)若cn=an•bn=(2n-1)•2n-1
∴Tn=1+3×2+5×22+…+(2n-1)•2n-1
2Tn=2+3×22+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)•2n
两式相减,得-Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)•2n=1+$2×\frac{2({2}^{n-1}-1)}{2-1}$-(2n-1)•2n=-3+(3-2n)•2n
∴Tn=3+(2n-3)•2n

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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