Question

8．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E是棱CC₁上的动点，F是AB中点，AC=BC=2，AA₁=4．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）试确定点E的位置，使得CF∥面AEB₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用条件推出BB₁⊥平面ABC．得到CF⊥BB₁．CF⊥AB．然后利用直线与平面垂直的判定定理证明CF⊥平面ABB₁．
（Ⅱ）判断点E为CC₁的中点，证明：取A₁B₁的中点，记为M．连接FM，MC₁．设AB₁∩FM=N，说明四边形CC₁MF是平行四边形，推出N是MF的中点，得到E是CC₁的中点．

解答 （Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面ABC．
又∵CF?平面ABC，∴CF⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，F是AB中点，∴CF⊥AB．又∵BB₁∩AB=B，∴CF⊥平面ABB₁．…（6分）
（Ⅱ）点E为CC₁的中点，证明如下：
取A₁B₁的中点，记为M．连接FM，MC₁．设AB₁∩FM=N，
∵FM∥CC₁，且FM=CC₁，
∴四边形CC₁MF是平行四边形，
∵CF∥面AEB₁，CF?面CC₁MF，面CC₁MF∩面AEB₁=EN，
∴CF∥EN，
∵N是MF的中点，
∴E是CC₁的中点．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理，直线与平面平行的判定定理的应用，考逻辑推理能力．