Question

19．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=4f（x）．x∈[0，2）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x}&{x∈[0，1）}\\{lo{g}_{\sqrt{2}}（x+1）}&{x∈[1，2）}\end{array}\right.$，若x∈[-2，0）对任意的t∈[1，2）都有 f（x）≥$\frac{t}{16}-\frac{a}{8{t}^{2}}$成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． [12，+∞）
• C． （-∞，6]
• D． [6，+∞）

Answer 1

分析 求出x∈[-2，0），f（x）的最小值为-$\frac{1}{4}$，则对任意的t∈[1，2）都有-$\frac{1}{4}$≥$\frac{t}{16}-\frac{a}{8{t}^{2}}$成立，从而对任意的t∈[1，2）都有2a≥t³+4t²．求出右边的范围，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：设x∈[-2，0），则x+2∈[0，2），
∵x∈[0，2）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x}&{x∈[0，1）}\\{lo{g}_{\sqrt{2}}（x+1）}&{x∈[1，2）}\end{array}\right.$的最小值为-$\frac{1}{4}$，
∴x∈[-2，0），f（x）的最小值为-$\frac{1}{4}$，
∴对任意的t∈[1，2）都有-$\frac{1}{4}$≥$\frac{t}{16}-\frac{a}{8{t}^{2}}$成立，
∴对任意的t∈[1，2）都有2a≥t³+4t²．
令y=t³+4t²，则y′=3t²+8t＞0，
∴y=t³+4t²在[1，2）上单调递增，
∴5≤y＜24，
∴2a≥24，
∴a≥12，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，考查导数知识的运用，是函数、不等式的综合应用，难度较大．