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设数列满足,令
(Ⅰ)证明数列{bn}是等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若存在m,n∈N*,n≤10使得b6,am,an依次成等比数列,试确定m,n的值.
【答案】分析:由已知可得=,即可得,可证
(Ⅱ)由(1)知,代入可得(m2-1)2=12(n2-1),结合左面是完全平方数,则n2-1可设为3k,
则n2=3k+1,检验可求k,进而可求m,n
解答:(I )证明:∵
=



∴{bn}是以为公差,以为首项的等差数列
由等差数列的通项公式可得,
(Ⅱ)解:由(1)知
存在m,n∈N*,n≤10使得b6,am,an依次成等比数列
,整理可得(m2-1)2=12(n2-1)
左面(m2-1)2是完全平方数,则12(n2-1)=4×3(n2-1)2也一定是完全平方数
∴n2-1可设为3k,k∈N*,且k是完全平方数n≤10,
∴n2=3k+1
∴当k=1时,n=2,m不存在
当k=4时,n不存在
当k=9时,n不存在
当k=16时,m=5,n=7
综上可得k=16时,m=5,n=7
点评:本题主要考查了利用构造证明等差数列,及等差数列的通项公式的应用,解答(II)要求考生具备一定综合应用知识解决综合问题的能力.
练习册系列答案
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