Question

1．（文科）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax²+（a+2）x+1相切，则a=8．
（理科）曲线y=x²与y=x所围成的封闭图形的面积为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （文科）先运用导数求切线的斜率，得到切线方程，再根据该直线与抛物线相切，由△=0解出a；
（理科）先求出两曲线的交点，得到积分的上，下限，再用定积分求面积．

解答 解：（文科）y'=1+$\frac{1}{x}$${|}_{x=1}^{\;}$=2，即切线的斜率为2，
根据点斜式，求得切线方程为y=2x-1，
该直线又与抛物线y=ax²+（a+2）x+1相切（a≠0），
联立得，ax²+（a+2）x+1=2x-1，
整理得，ax²+ax+2=0，
由△=0解得a=8（舍a=0），
故答案为：8．
（理科）联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x^2}\\{y=x}\end{array}\right.$解得x=0或x=1，
两曲线围成的面积根据定积分得，
S=x-${∫}_{0}^{1}（x-x^2）dx$=$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3$${|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{6}$，
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查了导数的简单应用和定积分的应用，属于基础题．