Question

11．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是正三角形，E是AB中点，A₁E⊥平面ABC．
（I）证明：BC₁∥平面 A₁EC；
（II）若A₁A⊥A₁B，且AB=2．
①求点B到平面ACC₁A₁的距离；
②求直线CB₁与平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理进行证明即可．
（Ⅱ）根据点到平面的距离公式以及线面角的定义，结合三角形的边角关系进行求解．

解答 解：（I）证明：设AC₁与A₁C交于F点，连接EF，
∵E，F分别是线段AB，AC₁的中点，
∴EF∥BC₁，又EF?平面 A₁EC，BC₁?平面A₁EC
故 BC₁∥平面A₁EC，
（II）①在正三角形A BC中，过E作E H⊥AC于H，连接A₁H
显然AC⊥平面A₁EH，
∵AC?平面ACC₁A₁
∴平面A₁EH⊥平面ACC₁A₁，且两个平面的交线为A₁H
过E作EG⊥A₁H于G，则EG⊥平面ACC₁A₁
在Rt△AA₁B中，由已知易得A₁E=1，在正三角形ABC中，${E}{H}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
则在Rt△A₁E H中，${E}G=\frac{{{{A}_1}{E}•{E}{H}}}{{\sqrt{{{A}_1}{{E}^2}+{E}{{H}^2}}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
即点E到平面ACC₁A₁的距离为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∵E是线段AB中点，
∴点B到平面ACC₁A₁的距离$d=2{E}G=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，
②延长EB至R点，使EB=BR=1，连接RC，
∴B₁R∥A₁E，则B₁R⊥平面ARC，即有B₁R⊥RC
在△BRC中易得$RC=\sqrt{7}$，
∴${{B}_1}C=2\sqrt{2}$
设直线B₁C与平面ACC₁A₁所成角为φ
则$sinφ=\frac{d}{{{{B}_1}C}}=\frac{{\sqrt{42}}}{14}$．

点评 本题考查直线平行的证明，考查点到平面的距离以及线面角的求法，利用相应的判定定理以及线面角的定义进行求解是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．