Question

在△ABC中，a比c长4，b比c长2，且最大角的余弦值是-

1

2

，则△ABC的面积等于

15 3

4

．

Answer 1

分析：由a比c长4，b比c长2，用c表示出a与b，可得出a为最大边，即A为最大角，可得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，同时利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与b代入，并根据最大角的余弦值，得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：根据题意得：a=c+4，b=c+2，则a为最长边，
∴A为最大角，又cosA=-

1

2

，且A为三角形的内角，
∴A=120°，
而cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(c+2)2+c2-(c+4)2

2c(c+2)

=-

1

2

，
整理得：c²-c-6=0，即（c-3）（c+2）=0，
解得：c=3或c=-2（舍去），
∴a=3+4=7，b=3+2=5，
则△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

15 3

4

．
故答案为：

15 3

4

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．