Question

已知点A、B的坐标分别为（0，-2

3

）、（0，2

3

），曲线C上任意一点P满足|

PA

|+|

PB

|=8且|

.

PA

|-|

.

PB

|≠0．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点Q（0，-5），轨迹C上是否存在满足

MQ

-

NQ

=0的M、N两点？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据题意，曲线C上任意一点P满足|

PA

|+|

PB

|=8，可得曲线C是以A、B为焦点的椭圆，可得a、c的值，进而可得b的值，即可得答案；
（2）根据题意，分析可得斜率不存在时，显然不合题意设过点Q（0，-5），斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y=kx-5；联立直线与椭圆的方程，可得（4+k²）x²-10kx+9=0，令△≥0，可得k的范围；假设在轨迹C上存在两点M、N，令MQ、NQ的斜率分别为k₁、k₂，根据题意，可得|k₁|≥

3

2

，|k₂|≥

3

2

，显然不可能满足k₁k₂=-1；即可得结论．

解答：解：（1）由已知得：|

PA

|+|

PB

|=8
∴曲线C是以A、B为焦点的椭圆（去除短轴两端点），
∵2a=8，a=4，c=2

3

，
∴b²=4，
∴曲线C的方程为

x2

4

+

y2

16

=1（x≠0）；
（2）不存在．
设过点Q（0，-5），斜率为k的直线方程为y=kx-5（斜率不存在时，显然不合题意）
由

y=kx-5 x2 4 + y2 16 =1

得：（4+k²）x²-10kx+9=0
由△≥0得k²≥

9

4

假设在轨迹C上存在两点M、N，令MQ、NQ的斜率分别为k₁、k₂，
则|k₁|≥

3

2

，|k₂|≥

3

2

，显然不可能满足k₁k₂=-1
∴轨迹C上不存在满足

MQ

•

MQ

=0的两点．

点评：类似本题的问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大，故此类问题能有效地考查考生分析问题、解决问题的能力，平时应作为重点来复习训练．