【题目】求正整数n的最大值,使得对任意一个以为顶点的n阶简单图,总能找到集合的n个子集,满足:当且仅当与相邻.
【答案】89
【解析】
先证.
假如,考虑完全二部图(即其中是所有的边),并假设n个子集满足条件.
由于 ,故可取.
易知,所有这些两两不同(否则,假如,且.则.但当时,,故只有.类似地,,矛盾).
因此,至少含有个不同的元素,但这不可能.
再证明:当时,对任意n阶简单图,存在集合满足条件.
用数学归纳法证明更一般的结论:
对任意n阶简单图,总能找到的n个子集满足条件,其中, (当n=1时,规定只能取空集).
当n=1时,条件无矛盾,结论成立.
当n=2时,令,可根据、是否相邻决定取或空集,结论仍成立.
假设n=k时结论成立,要证n=k+2时结论成立.
若每两个顶点均不相邻,取所有为空集即可.
接下来假设存在相邻顶点,不妨设、相邻.
由归纳假设,知对由另k个顶点构成的诱导子图,存在的k个子集满足相应的条件.取.
将大于的正整数成为“新元素”.
因为、相邻,所以,取新元素添加到、中.
对任意一个,若与、均不相邻,则不需要用到新元素;
若与、均相邻,则取一个未用过的最小的新元素,将其添加到、、中;
若与、中的一个相邻,不妨设与相邻,则取一个未用过的最小的新元素,将其添加到、中,但不能添加到中.无论如何每个至多用到一个新元素.
综上,至多用到1+k个不同的新元素.
在经过一系列添加新元素的操作后,设变成,
则对任意i、j,当且仅当与相邻.
又只用了不多于1+k个新元素,则最大的元素不超过.
故n=k+2时结论成立.
因此,对一切正整数n,结论成立.
特别地,当时,由,
知存在集合满足条件.
综上,n的最大值为89.
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【题目】已知椭圆:的左、右焦点分别为,点在椭圆上,且满足.
(1)求椭圆的方程;
(2)设倾斜角为的直线与交于,两点,记的面积为,求取最大值时直线的方程.
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【题目】某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况,从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩,发现都在内现将这100名学生的成绩按照,,,,,,分组后,得到的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是
A. 频率分布直方图中a的值为
B. 样本数据低于130分的频率为
C. 总体的中位数保留1位小数估计为分
D. 总体分布在的频数一定与总体分布在的频数相等
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为=(>0),过点的直线的参数方程为(t为参数),直线与曲线C相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若,求的值.
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【题目】已知椭圆经过点,且离心率为,过其右焦点F的直线交椭圆C于M,N两点,交y轴于E点.若,.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)试判断是否是定值.若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
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【题目】记
(I)若对任意的x0恒成立,求实数a的值;
(II)若直线l:与的图像相切于点Q(m,n) ;
(i)试用m表示a与k;
(ii)若对给定的k,总存在三个不同的实数a1,a2,a3,使得直线l与曲线,,同时相切,求实数k的取值范围。
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