Question

【题目】已知椭圆的左焦点为且经过点分别是的右顶点和上顶点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），且与线段交于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求直线的方程；

（3）若的面积是的面积的倍，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用椭圆的定义即可求出的值，从而求出，从而得到答案.

（2）根据题意设出直线方程，联立方程由根与系数的关系可得，再利用弦长公式即可得到答案.

（3）依题设出点的坐标以及直线的斜率，根据题目条件即可得坐标之间的关系，从而求出直线的斜率，从而求出直线直线的方程.

（1）依题知则椭圆的右焦点为，

因为点在椭圆上，且，

又，所以，所以

所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）因为点在第一象限，所以直线的斜率存在，

设直线的斜率为，则直线的方程为，

设直线 与该椭圆的交点为 ，

由可得，

易知，且，

则

，所以，

又，所以直线的方程为.

（3）设，，则，

易知，.由，，

所以直线的方程为，即.

若的面积是的面积的4倍，

则,由关于原点对称，可得,

所以，所以即 ① .

设直线的方程为，

由 得，

由 得，

代入①可得,

化简得，解得，

所以直线的方程为：.