Question

17．已知底面边长为$2\sqrt{3}$的正三棱锥O-ABC的体积为$\sqrt{3}$，且A，B，C在球O上，则球的体积是（　　）

• A． $\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$
• B． 8π
• C． 20π
• D． $4\sqrt{3}π$

Answer 1

分析 正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，求出小圆半径、三棱锥的高，可得球的半径，即可求出球的体积．

解答 解：正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，因正△ABC的边长为$2\sqrt{3}$，所以小圆半径r=2，
又因${V_{O-ABC}}=\sqrt{3}$，所以三棱锥的高h=1，
设球半径为R，则$R=\sqrt{{r^2}+{h^2}}=\sqrt{5}$，${V_球}=\frac{4}{3}π{R^3}=\frac{4}{3}π×{（\sqrt{5}）^3}=\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$，
故选A．

点评 本题考查球的体积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．