Question

如图所示，已知P（4，0）是圆x²+y²=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：设AB的中点为R，设R的坐标为（x₁，y₁），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|² =36-（），再由|AR|=|PR|=，由此得到点R的轨迹方程 -4x₁-10=0①，设Q（x，y），因为R是PQ的中点，可得x₁=，代入①化简即得所求．
解答：解：设AB的中点为R，则R也是PQ的中点，设R的坐标为（x₁，y₁），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|．
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|²=36-（）．
又|AR|=|PR|=，所以有（x₁-4）²+=36-（），即 -4x₁-10=0．
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动．
设Q（x，y），因为R是PQ的中点，所以x₁=，
代入方程 -4x₁-10=0，得-10=0，
整理得：x²+y²=56，这就是所求的Q点的轨迹方程．
点评：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点R的轨迹方程．欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题，属于难题．