Question

过原点O作圆x²+y²-8x=0的弦OA．
（1）求弦OA中点M的轨迹方程；
（2）如果M（x，y）是（1）中的轨迹上的动点，
①求T=x²+y²+4x-6y的最大、最小值；
②求N=的最大、最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）注意到：∠OMC=90°，动点M在以OC为直径的圆上，故可以求出圆心与半径，写出圆的方程．
（2）要求T=x²+y²+4x-6y的最大、最小值，只需求（x+2）²+（y-3）²的最大、最小值，（x+2）²+（y-3）²表示（x，y）与E（-2，3）两点间距离的平方，即圆（x-2）²+y²=4上的点与E（-2，3）两点间距离的平方，故可求；
（3）N=表示圆（x-2）²+y²=4上的点与点P（-2，0）连线的斜率，求出过（-2，0）的直线与圆相切时的斜率，即可得到结论．
解答：解：（1）圆x²+y²-8x=0的圆心坐标为C（4，0）
∵M为OA的中点，OA为圆的弦
∵∠OMC=90°，
∴动点M在以OC为直径的圆上，
∵C（4，0）
∴动点M的圆心坐标为：（2，0），半径为：2
∴所求点的轨迹方程为x²+y²-4x=0．
（2）x²+y²-4x=0可化为（x-2）²+y²=4，圆心为B（2，0），半径为2
①T=x²+y²+4x-6y=（x+2）²+（y-3）²-13
要求T=x²+y²+4x-6y的最大、最小值，只需求（x+2）²+（y-3）²的最大、最小值
（x+2）²+（y-3）²表示（x，y）与E（-2，3）两点间距离的平方，即圆（x-2）²+y²=4上的点与E（-2，3）两点间距离的平方
∵圆（x-2）²+y²=4上的点与E（-2，3）两点间距离，最大为|BE|+2=5+2=7，最小为|BE|-2=5-2=3
∴（x+2）²+（y-3）²的最大值为49、最小值为9
∴T=x²+y²+4x-6y=（x+2）²+（y-3）²-13的最大值36 最小值-4
②N=表示圆（x-2）²+y²=4上的点与点P（-2，0）连线的斜率，当过（-2，0）的直线与圆相切时，由于|PB|=4，圆的半径为2，∴切线的倾斜角为30°或150°
∴圆（x-2）²+y²=4上的点与点P（-2，0）连线的斜率的最大值，最小值
∴N=的最大值，最小值



点评：本题重点考查轨迹方程的求法，考查圆的标准方程，求函数的最值，明确目标函数的几何意义是解题的关键．