Question

已知函数（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在（0，1]上的最大值；
（Ⅱ）若x∈（0，1），求f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（Ⅰ）a=1时，，
则，
当0＜x≤1时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1]上单调递增，
∴f（x）在（0，1]上的最大值为f（1）=3．
（Ⅱ）（0＜x＜1），判别式△=a²-4．
∵0＜x＜1，a＞0，∴当△≤0时，
即0＜a≤2时，x²-ax+1＞0，因此，f'（x）＞0，
此时，f（x）在（0，1）上单调递增，即f（x）只有增区间（0，1）．
当△＞0时，即a＞2时，方程x²-ax+1=0有两个不等根，
设，，则0＜x₁＜x₂．当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

．
∵a＞2，∴a-2＞0．
而（a-2）²=a²-4a+4，，由a＞2可得a²-4a+4＜a²-4，∴，∴x₁-1＜0，∴x₁＜1.，由a＞2可得x₂-1＞0，∴x₂＞1．
因此，当a＞2时，f（x）的增区间为，减区间为．
分析：（Ⅰ）先求出导函数极其单调性，利用单调性求出极值，再与端点函数值比较即可求f（x）在（0，1]上的最大值；
（Ⅱ）先求出导函数，以及单调区间的分界点，与区间端点进行比较即可求出x∈（0，1）时f（x）的单调区间．
点评：本题的第一问考查了利用导数求闭区间上函数的最值．求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．