Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，AD=$\sqrt{3}$，E、F、G分别是BC、PB、AD上的点，且AF⊥PC，AG=3GD．
（1）若BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求证：DE⊥平面PAC；
（2）若BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求证：FG∥平面PDE．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分别以AD，AB，AP三直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出向量$\overrightarrow{DE}$、$\overrightarrow{AP}$和$\overrightarrow{AC}$的坐标，利用数量积得出$\overrightarrow{DE}$⊥$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{DE}$⊥$\overrightarrow{AC}$，即可证明DE⊥平面PAC；
（2）利用坐标表示求出点F的坐标，得F为PB中点，取PE中点H，连接FH，DH，证明四边形FHDG为平行四边形，
即可证明FG∥平面PDE．

解答 解：（1）证明：根据题意，AD，AB，AP三直线两两垂直，
分别以这三直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则：A（0，0，0），B（0，1，0），
C（$\sqrt{3}$，1，0），D（$\sqrt{3}$，0，0），
P（0，0，1）；
BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，E（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，1，0），
∴$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
∴$\overrightarrow{DE}$⊥$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{DE}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
即DE⊥AP，DE⊥AC，且AP∩AC=A，
∴DE⊥平面PAC；
（2）证明：∵G在边AD上，AG=3GD；
∴G（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，0，0）；
F在棱PB上，∠PBA=45°，∴设F（0，y₁，1-y₁），又AF⊥PC，
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{PC}$=0，则y₁+y₁-1=0，解得y₁=$\frac{1}{2}$，
∴F（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），即F为PB中点；
取PE中点H，连接FH，DH，则FH∥GD；
又FH为△PBE的中位线；
∴FH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
又∵GD=$\frac{1}{4}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴FH=GD，
∴四边形FHDG为平行四边形，
∴FG∥HD；
又FG?平面PED，HD?平面PDE，
∴FG∥平面PDE．

点评 本题考查了线面垂直与线面平行的应用问题，解题时应建立空间直角坐标系，利用空间向量得出平行与垂直的判断，是综合性题目．