Question

如图所示，将数以斜线作如下分群：（1），（2，3），（4，6，5），（8，12，10，7），（16，24，20，14，9），…．并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…．则第7群中的第2项是：

96

；

1	3	5	7	9	…
2	6	10	14	18	…
4	12	20	28	36	…
8	24	40	56	72	…
16	48	80	112	114	…
…	…	…	…	…	…

第n群中n个数的和是：

3•2ⁿ-2n-3

．

Answer 1

分析：观察数列群，得到第一个数列，第2个数列，…都是以2为公比的等比数列，不难求出第7群中的第2项；第n群中n个数表示出后，求出和即可．

解答：解：由题意数列可以转化为：
1
2    3
4    6     5
8    12    10   7
16   24    20   14   9
32   48    40   28   19   11
…
类似杨辉三角，可知每一列都是等比数列，每一行最后一个数是等差数列，公差为2，
所以第7群中的第2项是：3×2⁵=96．
第n个群中n个数为：S_n=1×2 ^n-1+3×2^n-2+5×2 ^n-3+…+（2n-1）•2 ⁰…①
2S_n=1×2 ⁿ+3×2^n-1+5×2 ^n-2+…+（2n-1）•2 ¹…②，
②-①得，S_n=2 ⁿ+2×2^n-1+2×2 ^n-2+…+2•2 ¹-2n+1
=2 ⁿ+2ⁿ+2 ^n-1+…+2 ²-2n+1
=2 ⁿ+

4(1-2n-1)

1-2

-2n+1
=3•2ⁿ-2n-3．
故答案为：96；3•2ⁿ-2n-3．

点评：本题是中档题，考查新定义，学生分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，找出数列的特征是解题的关键．