Question

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a＞0，b＞0）的周期为π，f(

π

4

)=

3

，且f（x）的最大值为2．
（1）写出f（x）的表达式；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间、对称中心、对称轴方程；
（3）说明f（x）的图象如何由函数y=2sinx的图象经过怎样的变换得到．

Answer 1

分析：（1）先把函数化为y=Asin（ωx+∅）的形式，则周期T=

2π

w

，最大值为

a2+b2

，再与所给函数的周期，最大值比较，就可得到两个含a，b，ω的等式，根据f(

π

4

)=

3

再得到一个含a，b，ω的等式，就可求出a，b，ω的值，得到f（x）的表达式．
（2）由（1）中得到的函数f（x）的解析式，先化简为y=Asin（ωx+∅），把ωx+∅看成一个整体，就可借助基本正弦函数的单调性，对称轴，对称中心，求出f（x）的单调递增区间、对称中心、对称轴方程．
（2）利用函数的平移，伸缩变换，把函数y=2sinx的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数y=2sin(x+

π

6

)的图象，再将y=2sin(x+

π

6

)图象的横坐标缩小到原来的

1

2

，即得f(x)=

3

sin2x+cos2x的图象．

解答：解：（1）f（x）=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin（ωx+∅），其中φ为辅助角，且tanφ=

b

a

，
∴T=

2π

w

=π，∴ω=2
∵f(

π

4

)=

3

，∴asin

π

2

+bcos

π

2

=

3

，即a=

3

∵f（x）的最大值为2，∴

a2+b2

=2，解得，b=1
∴f(x)=

3

sin2x+cos2x
（2）由（1）得，f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
令-

π

2

+2kπ ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴函数的单调递增区间[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
令2x+

π

6

=kπ，k∈Z，解得，x=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z
∴函数的对称中心为(

kπ

2

-

π

12

，0)，k∈Z；
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得，x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z
对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z
（3）f(x)=

3

sin2x+cos2x的图象可先由函数y=2sinx的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数y=2sin(x+

π

6

)的图象，再将y=2sin(x+

π

6

)图象的横坐标缩小到原来的

1

2

，即得f(x)=

3

sin2x+cos2x的图象．

点评：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）形式的函数的单调性，周期，对称性的判断，以及图象如何由基本正弦函数图象经过平移，伸缩变换得到．属于常规题．