Question

“a＜4”是“对任意的实数x，|2x-1|+|2x+3|≥a成立”的（　　）

A．充分必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既非充分也非必要条件

Answer 1

分析：先将函数y=|2x-1|+|2x+3|写成分段函数形式，再在每段上分别求函数的范围，
由于|2x-1|+|2x+3|≥a成立，只须使y_min≥a即可，
进而求出实数a的取值范围{a|a≤4}，结合集合关系的性质，不难得到正确结论．

解答：解：由题意知，令y=|2x-1|+|2x+3|，
则当x≥

1

2

时，y=2x-1+2x+3=4x+2≥4；
当x≤-

3

2

时，y=1-2x-3-2x=-4x-2≥4；
当-

3

2

≤x≤

1

2

时，y=1-2x+2x+3=4．故“对任意的实数x，|2x-1|+|2x+3|≥a成立”等价于“a≤4”
而{a|a＜4}

?

≠

{a|a≤4}，故“a＜4”是“对任意的实数x，|2x-1|+|2x+3|≥a成立”的充分不必要条件．
故答案为B．

点评：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是绝对值不等式的解法．由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A?B．