Question

8．函数f（x）=sinx+cosx的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后，所得的函数图象关于原点对称，则φ的最小值是（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{3}{4}π$
• D． $\frac{3}{2}π$

Answer 1

分析 根据辅助角公式，化简函数得y$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），从而得出平移后的图象对应的函数为y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$-φ），由平移后的图象关于原点对称，根据正弦函数的图象与性质得到$\frac{π}{4}$-φ=kπ（k∈Z），再取k=0得到P的最小正值．

解答 解：y=sinx+cosx=$\sqrt{2}$（sinxcos$\frac{π}{4}$+cosxsin$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）．
将函数的图象向右平移P个单位长度后，得到y=$\sqrt{2}$sin[（x-φ）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$-φ）的图象．
∵平移后得到的图象关于坐标原点对称，
∴$\frac{π}{4}$-φ=kπ（k∈Z），可得φ=$\frac{π}{4}$-kπ（k∈Z），
取k=0，得到φ的最小正值为$\frac{π}{4}$．
故

点评 本题给出三角函数表达式，已知函数图象右移φ个单位个图象关于原点对称，求平移的最小长度．着重考查了三角恒等变换公式、正弦函数的图象与性质和函数图象平移公式等知识，属于中档题．