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(本小题满分13分)

平地上有一条水渠,其横断面是一段抛物线弧,如图,已知渠宽为,渠深为6

(1)若渠中水深为4,求水面的宽,并计算水渠横断面上的过水面积;

(2)为了增大水渠的过水量,现要把这条水渠改挖(不能填土)成横断面为等腰梯形的水渠,使水渠的底面与地面平行(不改变渠深),要使所挖土的土方量最少,请你设计水渠改挖后的底宽,并求出这个底宽。

 

【答案】

 

解:(1)水渠横断面过水面积为;

(2)设计改挖后的水渠的底宽为时,可使所挖土的土方量最少。

 

【解析】本试题以圆锥曲线为背景,结合了定积分的几何意义,表示曲边梯形的面积的,以及直线与抛物线相切的相关知识的综合愚弄。

(1)利用建立直角坐标系,然后设出方程和点的坐标,结合定积分的几何意义表示出面积。

(2)分析为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,则需要结合导数的几何意义来表示得到切线方程,从而表示梯形面积,求解得到最值。

解:(1)建立如图的坐标系,设抛物线的方程为,由已知在抛物线上,得,∴抛物线的方程为,令,得,即水面宽为8()。

∴水渠横断面过水面积为

(2)为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,如图,

设切点,则函数在点的切线方程为

,得

∴此时梯形OABC的面积为

当且仅当时,等号成立,此时

∴设计改挖后的水渠的底宽为时,可使所挖土的土方量最少。

 

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