(本小题满分13分)
平地上有一条水渠,其横断面是一段抛物线弧,如图,已知渠宽为,渠深为6。
(1)若渠中水深为4,求水面的宽,并计算水渠横断面上的过水面积;
(2)为了增大水渠的过水量,现要把这条水渠改挖(不能填土)成横断面为等腰梯形的水渠,使水渠的底面与地面平行(不改变渠深),要使所挖土的土方量最少,请你设计水渠改挖后的底宽,并求出这个底宽。
解:(1)水渠横断面过水面积为;
(2)设计改挖后的水渠的底宽为时,可使所挖土的土方量最少。
【解析】本试题以圆锥曲线为背景,结合了定积分的几何意义,表示曲边梯形的面积的,以及直线与抛物线相切的相关知识的综合愚弄。
(1)利用建立直角坐标系,然后设出方程和点的坐标,结合定积分的几何意义表示出面积。
(2)分析为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,则需要结合导数的几何意义来表示得到切线方程,从而表示梯形面积,求解得到最值。
解:(1)建立如图的坐标系,设抛物线的方程为,由已知在抛物线上,得,∴抛物线的方程为,令,得,即水面宽为8()。
∴水渠横断面过水面积为
(2)为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,如图,
设切点,则函数在点的切线方程为
令,得;
∴此时梯形OABC的面积为
∵,
当且仅当时,等号成立,此时
∴设计改挖后的水渠的底宽为时,可使所挖土的土方量最少。
科目:高中数学 来源:2015届江西省高一第二次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分13分)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)在给出的直角坐标系中,画出函数在区间上的图象.
(3)设0<x<,且方程有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年福建省高三年级八月份月考试卷理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值;(2)判断函数的单调性;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围.
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科目:高中数学 来源:河南省09-10学年高二下学期期末数学试题(理科) 题型:解答题
(本小题满分13分)如图,正三棱柱的所有棱长都为2,为的中点。
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求异面直线与所成的角。www.7caiedu.cn
[来源:KS5
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年福建省高三5月月考调理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)
已知为锐角,且,函数,数列{}的首项.
(1) 求函数的表达式;
(2)在中,若A=2,,BC=2,求的面积
(3) 求数列的前项和
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