Question

已知函数f（x）=b•a^x（a＞0且a≠1），且f（k）=8f（k-3）（k≥4，k∈N*）．
（1）若b=8，求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）；
（2）若f（1）、16、128依次是某等差数列的第1项，第k-3项，第k项，试问：是否存在正整数n，使得f（n）=2（n²-100）成立，若存在，请求出所有的n及b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=b•a^x（a＞0且a≠1），且f（k）=8f（k-3）（k≥4，k∈N*），知8a⁴=64a，解得a=2．由此能够包出f（1）+f（2）+…+f（n）=8[a+a²+a³+…+aⁿ]=8×

a(1-an)

1-a

=16（2ⁿ-1）．
（2）由f（1）、16、128依次是某等差数列的第1项，第k-3项，第k项，设等差数列的公差为d，则d=

112

3

．由a=2，知f（1）=2b，b=

248-56k

3

．由题意知，要使方程b2ⁿ=2（n²-100）有正整数解，则b=

248-56k

3

=64-56m，m∈N+，由此进行分类讨论能够得到存在正整数n，使得f（n）=2（n²-100）成立，此时b=-48．

解答：解：（1）∵函数f（x）=b•a^x（a＞0且a≠1），且f（k）=8f（k-3）（k≥4，k∈N*），
∴f（4）=8f（1），即8a⁴=64a，
解得a=2．
∵b=8，f（x）=8a^x，
∴f（1）+f（2）+…+f（n）
=8[a+a²+a³+…+aⁿ]
=8×

a(1-an)

1-a

=16（2ⁿ-1）．
（2）∵f（1）、16、128依次是某等差数列的第1项，第k-3项，第k项，
设等差数列的公差为d，∴d=

112

3

，
由（1）知a=2，∴f（1）=2b，
∴128=2b+（k-1）×

112

3

，∴b=

248-56k

3

（k≥4，k∈Z），（*）
由题意知，要使方程b2ⁿ=2（n²-100）有正整数解，结合（*）式可知b的取值为整数，
故b=

248-56k

3

=64-56m，m∈N+，
令g（x）=f（x）-2（x²-100）=b2^x-2x²+200，
①当b＞0时，b=8，g（x）=8•2^x-2x²+200，
g′（x）=bln2•2^x-4x=4（2ln2•2^x-x），
当x∈[1，+∞）时，2ln2•2^x-x＞2^x-x＞0，
则g′（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）内单调递增，
而g（1）=214＞0，∴g（x）＞0，x∈[1，+∞），
∴当b=8时，不存在正整数n，使得f（n）=2（n²-100）成立．
②当b＜0时，由b=64-56m，m∈N₊可知
若m＞2，m∈N₊，即b=64-56m≤-104，
则g（x）=b2^x-2x²+200＜0对一切x∈[1，+∞）都成立，
∴不存在正整数n，使得f（n）=2（n²-100）成立．
当m=2时，b为-48，g（x）=-48×2^x-2x²+200，
∴g（x）在[1，+∞）内单调递减，
又g（1）=102＞0，
g（2）=-48×4-8+200=0，
∴存在n=2，满足f（n）=2（n²-100）．
综上所述：存在正整数n，使得f（n）=2（n²-100）成立，此时b=-48．

点评：本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用，合理地进行等价转化．