Question

已知函数f（x）=2lnx-x+

1

x

+2f′（1）x²．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＞ax对x∈（1，e）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）根据题意，对f（x）求导，可得f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

+4f′（1）x，令x=1可得f′（1）的值，进而可得f′（x）的解析式，令f′（x）≤0，解可得函数f（x）的单调递减区间；
（2）由（1）可得f（x）的表达式，则可将f（x）＞ax变形为a＜

2lnx

x

+

1

x2

-1，取g（x）=

2lnx

x

+

1

x2

-1，求导可得则g′（x）=

2x-xlnx-2

x3

，令h（x）=2x-xlnx-2，求导分析可得h（x）的单调区间与最小值，进而可得g′（x）＞0，可得g（x）的单调性与最小值，结合a＜

2lnx

x

+

1

x2

-1可得a的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=2lnx-x+

1

x

+2f′（1）x²，有x＞0，
则f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

+4f′（1）x，
令x=1可得，f′（1）=4f′（1），则f′（1）=0；
故f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

=-（

x-1

x

）²≤0，
故函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞），
（2）由（1）可得，f（x）=2lnx-x+

1

x

，
若f（x）＞ax对x∈（1，e）恒成立，即a＜

2lnx

x

+

1

x2

-1在（1，e）恒成立，
取g（x）=

2lnx

x

+

1

x2

-1，则g′（x）=

2-lnx

x2

-

2

x3

=

2x-xlnx-2

x3

，
令h（x）=2x-xlnx-2，则h′（x）=1-lnx，
又由1＜x＜e，则h′（x）=1-lnx＞0，即h（x）在（1，e）为增函数，
故h（x）＞h（1）=0，
则g′（x）=

2x-xlnx-2

x3

＞0，即g（x）在（1，e）为增函数，
故g（x）＞g（1）=0，
若a＜

2lnx

x

+

1

x2

-1在（1，e）恒成立，
则必有a≤0．

点评：本题考查函数的导数的计算以及应用，注意首先要分析函数的定义域，其次注意正确求出f（1）的值，从而得到f（x）的解析式．